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この本を読んでいただく皆様へ 大きめの部品が、ゆったりと配線された真空管アンプは、まるで「電気のからくり細工」のようです。 そんな電気のしくみを理解したくなり、簡単そうな電気の入門書を買ってみました。 ところがどの本も、最も難しい基礎部分の説明を省き、一気に数式依存へと移行してしまいます。 またせっかくのイラストも、イラストレーターと著者とのリンクが弱く、充分に機能していません。 この本では、こうした体験をふまえ、 という点に心掛けた、電気の世界の探検絵本を目指しました。 |
交流の種類はいろいろある
電池に抵抗をつなぐと、いつも一定の方向に電流が流れ、これを直流といいます。
一方電池のプラスとマイナスをひんぱんにつなぎ換えて電流の向きが行ったり来たり交代するとき、これを交流といいます。
また英語では、直流をダイレクト・カレント（Direct Current）、略してDC.
交流はオルタネイティング・カレント（Alternating Current)、略してAC. とも言います。
交流はいろいろなバラエティｰがあって、その波の形などから名前がついています。
三角波は三角形、方形波は四角形、ザギザのノコギリ波、三角波の上下のとんがりをカットすれば台形波もできます。
また方形波を組み合わせて階段の形をした階段波も作れます。
しかし何といっても交流の主役は正弦波でしょう。
ちなみに交流の理論はややこしいので、エジソンも大嫌いだったようですが、本書はこの部分の解説に挑戦します。
【４】正弦波の名前はこうしてついた
正弦波の「正弦」とは３角関数という数学に出る言葉のひとつで、サイン（ｓｉｎ）ともいい、正弦波の事をサイン波ともいいます。
しかし同事に、この波形はピアノやギターの「弦を正しく」弾いた時などに、当たり前のように出てくる、とても不思議で自然な性質の波です。
３角関数の正弦というのは、直角３角形の ２辺を使った割り算の答え を言います。そこで、具体的な例を示しましょう。
直角３角形の３辺のうち、２つの辺は文字通り直角になっています。
そこで直角３角形の積み木を、斜辺が下にこないように床に置くと、坂になる斜辺の部分と、床と垂直になる、高さにあたる辺が見えることになります。
このとき、上の図のような条件で高さが５センチ、斜辺が１０センチと測れたなら、
高さ÷斜辺
という式の、 ２辺を使った割り算の答え が正弦というわけです。そこで「正弦は、高さ÷斜辺だ。」ということを式にすると
正弦＝高さ÷斜辺
＝５センチ÷１０センチ
＝０，５ となります。
この式は、斜辺１０なら高さ５、つまり「斜辺の長さを１とする時、高さは０，５に相当する。」という辺同士の比率を表しています。
さらに数式は世界共通言語なので、正弦という漢字をｓｉｎという記号で書くと
ｓｉｎ＝０,５ と書けます
以上が 先ほどの条件のサイン を表しているわけですが、このままでは 先ほどの条件 を特定（区別）する名前がありません。
そこで、斜辺と床との角度を分度器で測り、その傾き角度が３０度だったなら、これをサインの名前とします。
今回の条件では、「サイン３０度は０､５だ。」となり、式として表せば
ｓｉｎ３０°＝０,５
これでサインに名前がつきました。実は直角３角形には不思議な性質があって、斜辺の傾き角度が判れば、
高さ÷斜辺
の答え（比率）が決まっているというのですが、よく考えてみると、これはあたりまえなのです。
なぜなら３角形は３つある内角の和が１８０度ですが、直角３角形はそのうち１つが９０度なので、残った２つの角度の和は９０度です。
そこでどちらか１つが６０度とわかれば、３つめは
９０度－６０度＝３０度
となります。つまり直角３角形は、直角以外の１つの角度で、３つめの角度も決まってしまうため、辺の大小に関係なく、全て同じ形（相似形）となります。
その結果辺同士の比率が決まってしまうのです。
例えばｓｉｎ４５度を考える時、もう１つの角度は
９０度－４５度＝４５度
つまり２等辺三角形になります。
２等辺三角形の斜辺は、他の辺の√２（ルート２と読み、約１，４）倍であることがわかっています。
そこで高さを５センチとすれば斜辺は５×√２センチになりますから、ｓｉｎ４５°は
ｓｉｎ４５度＝高さ÷斜辺
＝５÷５√２
＝１／√２
≒１÷１，４
≒０,７
ここでさらにイメージしてみますが、斜辺と底辺の角度が０度の積み木はどうなっているのでしょうか。
このような３角形の積み木は、もはや積み木といえません。
しかし空想の世界で作ってみると、斜辺と底辺とが一体になり、おそらく床に置いた紙のように薄く、高さの部分は限りなく０センチです。
このことから
正弦＝高さ÷斜辺＝０センチ÷１０センチ＝０ となり
ｓｉｎ０°＝０ であるとわかります。
また９０度のときは斜辺が直角ですから、斜辺と高さの辺の部分とが一体になり、紙が１枚垂直に立っている感じになります。
つまり斜辺と高さが同じなので
正弦＝高さ÷斜辺
＝１０センチ÷１０センチ＝１ となって
ｓｉｎ９０°＝１ であるとわかります。
さらに１８０度から３６０度の間は積み木の坂の部分が床の下にめりこんでいる状態で、もはや切り立った部分ではなく沈み込んだ部分となります。
例えば２１０度の場合はつぎの図のようになっています。
高さとしてはマイナスの高さといえる状態になっていますから、
正弦＝高さ÷斜辺
＝－５センチ÷１０センチ
＝－０､５
そこで ｓｉｎ２１０°＝－０､５ となります
さらにさらに２７０°の時の高さはマイナス１０センチなので
―１０センチ÷１０センチ＝－１ となって
ｓｉｎ２７０°＝－１ であるとわかります。
正弦波を絵に描こうとすると、その姿は左から右にひいた１本の直線に沿って、上下に波打つ線の形をしています。
波の高さは直線上が０、直線の上部がプラス側、下はマイナス側とします。
また、直線の左端を０度と決めて、そこから右に向かって、均等に１度ずつ度数の目盛をつけておきます。
ただし1度づつ書き込むと、字が混み入って分かりづらくなるため、３０度間隔で書いてあります。
ではこの直線に沿って、正弦波を描いて行きましょう。まずスタート地点は０度です。
サイン０度は０なので波の高さは０つまり直線と同じところです。
次に中間地点を省略して３０度の目盛までくると、サイン３０度は０,５なので０,５の高さになります。
このとき「０,５」のあとにくる単位は何でも良く、大きい絵を描きたかったら、０,５メートル、小さい絵なら０,５センチでかまいません。
また「１」を １０センチ として表せば 「０,５」 は５センチに相当して、描くのに手ごろなサイズとなります。
３０度の ０,５ に続いて ４５度では サイン４５度＝１／√２≒０,７ と増え、６０度で √３／２≒０,８７ 、９０度で最大の１になります。
９０度を超えると今度は下がり始めますが、後は似たような繰り返しなので、
三角関数表 の 「より抜き版」 をつくってみました
| 角 度 | サイン | 角 度 | サイン |
| ０° | ０ | １８０° | ０ |
| ３０° | ０,５ | ２１０° | －０,５ |
| ４５° | ０,７１ | ２２５° | －０,７１ |
| ６０° | ０,８６６ | ２４０° | －０,８６６ |
| ９０° | １,０００ | ２７０° | －１,０００ |
| １２０° | ０,８６６ | ３００° | －０,８６６ |
| １３５° | ０,７１ | ３１５° | －０,７１ |
| １５０° | ０,５ | ３３０° | －０,５ |
| １８０° | ０ | ３６０° | ０ |
このように３６０度までを１周期、または１サイクルと言い、後はこの繰り返しになるため、２倍の７２０度でも３倍の１０８０度でも同じです。
ただし、こうしたポイントをつなげただけでは、カクカクした波形になってしまいます。
そこで１度づつの数値が記してある三角関数表を使い、０度から３６０度まで細かく数値を入れて、なめらかな正弦波の波形を描き出します。
Ｃ）正弦波を数字と記号で書く
波の高さは、海面を見てもわかるように、時と共に高くなったり低くなったりしています。
だから高さ０ｍの時の波を見て「この波の高さは０ｍです。」などと言っても、次の瞬間にはもはや別の高さになっています。
そこで時と共に変化する波の高さを正確に表すため、先ほどの直線上の度数を活用します。
直線上につけた目盛の１周期、すなわち０度から３６０度までの間を、θ（シータ）という名前の点が移動して行くと、
θのいる場所で正弦波の高さはｓｉｎθとなっています。
例えば、θが０度なら
ｓｉｎθ＝ｓｉｎ０°＝０
つまりθが０度なら正弦波の高さは０となります。
またθが９０度なら
ｓｉｎθ＝ｓｉｎ９０°＝１
つまりθが９０度なら正弦波の高さは１となります。
このように考えると、ｓｉｎθという式があれば、θが横軸のどこにいようと、その時の、波の高さがわかってしまう事になります。
つまり「正弦がその高さを示す波」という理由から、この波を正弦波（サイン波）と呼んでいるのです。
ところで先ほど、時と共に変化する波と言ったにもかかわらず、度数の話題しか出てきていません。
確かに度数は、そのままでは時間を示しません。
しかし正弦波が１周期、つまり０度から３６０度まで変化する時間を１分や１秒とすれば、「１度」とはその１／３６０に相当する「時間」になります。
では例をあげていろいろな瞬間の波の高さを表現してみましょう。
例１）
正弦波がスタート０度から３０度進んだとき、波の高さは先ほどの表から
ｓｉｎ３０°＝０,５
例２） １周期３６０秒かかる正弦波では、３６０秒で３６０度進むのですから１度は１秒になり、スタートから３０秒たつと３０度進んでいることになります。
その時、波の高さは
ｓｉｎ３０°＝０,５
これを実際の波形で見てみると次の図のようになります。
例３） １周期１２秒の正弦波がスタートから６秒たつと１周期の半分の１８０度だから、波の高さは
ｓｉｎ１８０°＝０
実際の波形でこれを見てみましょう。
例４） １周期１秒の正弦波が１０秒たつと３６００度つまりちょうど
１０周期目を終えてスタート位置に戻っているから、波の高さは０
ｓｉｎ３６００°＝ｓｉｎ３６０°＝０
図ではスタート地点から９秒後までは省略して描きました。
このようにして、
| ① １周期にかかる時間と、 ② どのくらい時間が経過したかを元に、 ③ ｓｉｎθという式のθ（＝角度）が何度になっているか、 |
これを調べれば、波の高さが表示される事が分かってきました。
ただし、こんなにぱっと答えが出るのは、上の例のような分かりやすい場合にかぎり、普通は三角関数表のお世話になります。
【５】 正弦波はいろいろな音の源
正弦波の音を耳で聞くと、音程の高さにより、ピーとかポーとかモーなどとカドのない音です。
しかしこれが何種類か混ざると、だんだんギーとかビーとかブーなど様々な音色に変化します。
そして私たちが日ごろ聞いている様々な音は、いろいろな音程の正弦波が複雑にミックスされたものなのです。
Ａ）正弦波の周波数とは
いろいろな音程の正弦波をうまくあらわす方法はないでしょうか。
そこで「ピー」と聞こえた音が、１秒間に１０００周期つまり１０００回空気を振動させている音なら、これを１０００ヘルツまたは１キロヘルツの音と表現します。
ヘルツはドイツの物理学者で、電波を発見しました。
ふつう正弦波は１秒間に何周期を繰り返すかという、周波数で判別します。
またヘルツは「Ｈｚ」と言う記号で表し、キロヘルツは「ＫＨｚ」で表します。
Ｂ）正弦波を周波数のわかる数字と記号で書く
最初は１秒間に１回振動する１Ｈｚの例で考えます。
このとき１周期つまり０度から３６０度まで、θ（シータ）という名前の点の移動が、ちょうど１秒間で行なわれます。
では１秒のちょうど半分、０､５秒後の波の高さはどれだけかと言うと
ｓｉｎ（３６０°×０,５）＝ｓｉｎ１８０°＝０
このとき、波はちょうど１８０°まで進み、０の高さのところを通過中でした。
ところで角度には π（パイ） という記号による表し方があり、それによるとπとは１８０度を意味し、３６０度は ２π になります。
これを使って先ほどの式を書くと
ｓｉｎ（３６０°×０,５）
＝ｓｉｎ（２π×０,５）
＝ｓｉｎπ
＝０ となります
つづいて１秒間に１０回振動する１０Ｈｚのときの０,５秒後を考えてみます。
１秒間で１０周期ということは、３６０°×１０＝３６００°の目盛まで波が描かれています。
そこで０,５秒後の波の高さは
ｓｉｎ｛（３６０°×１０）×０,５｝
＝ｓｉｎ（３６００°×０,５）
＝ｓｉｎ１８００°
＝ｓｉｎ（３６０°×５）
＝０
角度の数値は大きくても、結局は５回目にきた３６０°というだけで、波の高さは元に戻って０です。
これもπを使って書くと
ｓｉｎ（２π×１０×０,５） となります。
さらに周波数を高くして、１キロヘルツは１秒間に１０００周期です。
また何秒後の値を調べるかは後で決めることにして、仮にｔ秒後とおくと
ｓｉｎ（３６０°×１０００×ｔ） となります。
ここで ｔ という記号を用いたのは、ここに入る数字が何秒後という時間（タイム）だからです。この式もπを使うと
ｓｉｎ（２π×１０００×ｔ）
こうして３つの例をみると、２πの後には１秒間の周期の回数、つまり周波数が書かれている事がわかります。
そこで、周波数もあとでいろいろ変わることを考え、この部分を、周波数を意味するフリケンシーの記号ｆに置き換えると
ｓｉｎ（３６０°×周波数×何秒後）＝ｓｉｎ ２π ｆ ｔ 秒 となります。
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『まず周波数ｆと調べたい時間ｔに数値を当てはめて掛け算し、 さらに２πという角度を掛け、出てきた数値（＝角度）を計算します。 次にその角度を三角関数表で調べれば、周波数ｆの正弦波がスタートしてｔ秒後、 どんな波の高さになっているかを、表す事ができますよ。』と言う事になります。 |
また波の高さを波高値といいます。そこでいろいろな周波数の正弦波の瞬間における波高値を計算してみましょう。
ただし波高値は、最大でもＳｉｎ９０°の１までですし、最小でもＳｉｎ２７０°のマイナス１までです。
例１）１ｋＨｚの正弦波がスタートして０,５秒たった時の波高値を計算すると
ｓｉｎ（２π×ｆ×ｔ 秒）＝ｓｉｎ（２π×１０００×０,５）
＝ｓｉｎ（２π×５００）
＝ｓｉｎ０°
＝０
この瞬間正弦波はちょうど５００周期目の３６０度のところを通過中です。
特に大切なのは、式の２番目にある２π×５００という式を取り除いた事です。
なぜこのようなことが出来るかと言えば、２πの整数倍は、１周期の繰り返しに過ぎないので、０°と同じことを意味しています。
そこで、式を簡単にするためこの部分は無視します。
例２）１ＫＨｚの正弦波がスタートして１／１６秒たった時の波高値は
ｓｉｎ（２π×ｆ×ｔ 秒）
＝ｓｉｎ（２π×１０００×１／１６）
ここで２πをカッコから出します。
さらに残った数を無視できる単なる繰り返しの整数部分と、無視できない分数部分に分けるため、帯分数にすると
＝ｓｉｎ２π（２５０／４）
＝ｓｉｎ２π（６２＋２／４）
＝ｓｉｎ{（２π×６２）＋（４π／４）}
この式の意味は２πが６２個とπが１個あるという事ですから、６２周期の後さらに１８０度進んでいる状態になります。
そこで６２周期は無視して、
＝ｓｉｎπ
＝ｓｉｎ１８０°
＝０ となります。
これを図で表すと次のようになります。
例３） ２ＫＨｚの正弦波がスタートして１／３秒たった時の波高値を計算すると
ｓｉｎ（２π×２０００×１／３）
＝ｓｉｎ２π（２０００／３）
＝ｓｉｎ２π（６６６＋２／３）
＝ｓｉｎ{２π×６６６＋（４π／３）}
ここでも６６６周期は無視して
＝ｓｉｎ（４π／３）
＝ｓｉｎ２４０°
＝－√３／２
＝－０,８７
１つの角が２４０度の直角三角形は２４０＝１８０＋６０すなわち高さが下向きで底辺とは６０度の斜辺を持ちます。
この直角３角形は３辺の長さの比率が、底辺を１とすると斜辺は２で、高さは√３とわかっています。
この状態の積み木はつぎのようになります。
ただし下向きなので、高さは－√３になります。また斜辺は単なる長さなので向きは関係無く、いつも記号はプラスです。
そこで三角関数表を使わなくてもｓｉｎ２４０°はｓｉｎ６０°の記号がマイナスになったー√３／２＝―０，８６６とわかります。
波形の様子を図にしてみました。
このようにして、時と共に変化するさまざまな周波数の正弦波の波高値が
ｓｉｎ２πｆ・ｔ秒
という数字と記号で書ける事になりました。
C) 次元について
しかし良く考えてみるとｓｉｎの後に書かれる数字は、本来角度とその倍数だけのはずです。
そこに時間の単位「ｔ 秒」があるのはおかしいのではないでしょうか。
そこで数学の決まりの一つ「次元」について知っておかなければなりません。
２とか３は数の大きさを表していますが、そのあとに単位が付くと一定の量を表します。
単位が付いた数字はその「次元」を持つことになり、計算の中で勝手に消すことが出来ません。
例えば１ｍ（メートル）は「ｍ」という長さの次元を持つので、計算する時は
４ｍ÷２＝２ｍ
と答えに次元が残ります。この式は４ｍを２つに分割すると２ｍになるという意味ですが
４ｍ÷２ｍ＝２
という計算は、答えから次元が消えています。この式は４ｍの中に２ｍが２つあるという意味です。
このとき長さの次元であるｍ同士も
ｍ÷ｍ＝１ という式で割り算ができていることになります。
また時間も次元のひとつで
４秒÷２＝２秒
という式は、４秒の半分の時間は２秒という意味ですが
４秒÷２秒＝２
という式は、４秒の中には２秒という時間が２回あるということで、時間の次元である秒同士が割られて答えから消えています。
そこでｆ（周波数）の意味を考えてみますと、周波数とは１秒間に何周期あるかを意味しています。
例えば下の図は １秒間に１０周期 の場合です。
| １秒間に１０周期の場合 |
また、１０秒間に２０周期変化する正弦波が１秒間に変化する周期の回数は
ｆ＝２０回÷１０秒
＝２回÷１秒
このようにｆには（÷１秒）という次元が付きますので、周波数とは単なる回数ではなく
ｆ＝回数÷１秒
＝回数／１秒
という、分母に時間の次元の付いた数値なのです。
そこで周波数 「 ｆ 」 の周期つまり回数は、サイクルの 「 ｃ 」 で表し「秒」は英語のＳＥＣＯＮＤの 「 ｓ 」 で表せば
ｆ＝回数／１秒＝ｃ/ｓ （サイクル パー セカンド）
ｓｉｎ２π ｆ ｔ ｓ ＝ ｓｉｎ２π × ｃ / ｓ × ｔ ｓ ＝ｓｉｎ２πｃｔ
ということで、２πｆ ｔ 秒 は、３６０度である ２π を ｃ ｔ 倍 しただけの純粋な角度となりました。
さらにしつこく書けば正弦波の式とは
「ｓｉｎ（３６０度×倍数）」 という実に単純な式でしかないのです。
【６】交流のオームの法則と電力
正弦波は音だけでなく電圧にもあてはまります。交流電圧も直流電圧と同じ電気なので、オームの法則に出てきた掛け算
電流 Ｉ × 抵抗 Ｒ ＝ 電圧 Ｅ
はもちろん、他の２つの割り算式もなりたちます。さらに電力も直流同様に
電圧Ｅ × 電流 Ｉ ＝ 電力 Ｐ で単位はＷ（ワット）
となります。電気のもとは、直流では電池がありますが、交流の電池というのは無いので交流電源を使います。
【７】交流の電圧
交流電源で一番身近なのは家庭のコンセントでしょう。コンセントからとれる交流は１００ボルトで、関東なら５０Ｈｚです。
そこで今まで習ったことを使って、コンセントの交流電圧をあらわしてみると
ｓｉｎ２πｆ ｔ ｓ＝ｓｉｎ（２×π×５０×ｔ）・・・式の右辺はｆの中にある １／ｓ と ｔ ｓ の ｓ が打ち消しあっていることに注意
ところがこれにはどこにも１００ボルトの事が入っていません。
つまり今まで示していた波高値「０､５」とか「０､７」は１ボルトを基準に考えていたのです。
ですから１００ボルトのときは全体を１００倍して
１００×ｓｉｎ（２π×５０×ｔ）
となります。そこで１００Ｖに限らず、いろいろな電圧を表すことを考えてｓｉｎの前にくる電圧の数字を「Ａ」と置き換えると、この式は
Ａ・ｓｉｎ２πｆ ｔ ｓ となります。
これで最高「Ａ」ボルトで周波数「ｆ」の正弦波の「ｔ」秒後の波高値は、どうなっているかという、正弦波のほとんど全ての情報がわかるようになりました。
例えば周波数ｆでＡの値が１Ｖと２Ｖの正弦波である
ｓｉｎ２πｆ ｔ ｓ と ２・ｓｉｎ２πｆ ｔ ｓ
の図を描くと次のようになります
ここで周波数１ＫＨｚ、電圧１０Ｖの正弦波を例にとって、数式で表してみると、
Ａ・ｓｉｎ２ｆπｔ ｓ＝１０・ｓｉｎ（２π×１０００ ｔ）
この式の右辺が示す意味は、「最大電圧が１０Ｖで、１周期３６０°を１秒間に１０００回繰り返している正弦波の、ｔ 秒後の波高値を示す。」
と言う事になります。
【８】ピーク値と実効値
Ａ）ピーク値
１００Ｖの直流と１００Ｖの交流（正弦波）を比べると、たしかに交流は９０°で１００Ｖであり、２７０°でマイナス１００Ｖですが、
０°や１８０°や３６０°の時は０Ｖになっています。
また０Ｖの付近も１００Ｖには、はるかに至っていません。
これで直流と同じ１００Ｖだと言ったら、毎月数日だけは働くが、あとは適当にお休みしている人と、
全く休みなく働いている人に、同じ給料を渡しているようなものです。
そこで呼び方を変え、交流の場合は「ピーク値が１００Ｖになっている。」と言います。
実効値とは､本当はどれだけ仕事をしたのか分かるようにすることを目的としますから、電力を中心に考えます。
そこで直流のときと同じように１Ωの抵抗を機器のかわりにつなぎ、交流の電源はピーク値１Ｖの正弦波
電圧Ｅ=Ｓｉｎ２πｆ ｔ ｓ（Ｖ）
を使いますが「２πｆｔｓ」は単なる角度に過ぎないことから、式を簡単にするため、単純な角度の記号「θ」とおきかえて
２πｆ ｔ ｓ＝θ
とすることで電圧は ｓｉｎ２πｆ ｔ ｓ（Ｖ）からｓｉｎθ（Ｖ） と書き換えられます。
また電流Ｉもオームの法則を使い、電圧（ｓｉｎθ（Ｖ））÷抵抗（1Ω） から計算すると、
電流＝ｓｉｎθ（Ｖ）÷１（Ω）＝ｓｉｎθ（Ａ）
こうして電流Ｉと電圧Ｅが決まったところで、電力ＰはＥ×Ｉですから
です。ここで単位を省略してみると、ｓｉｎθ×ｓｉｎθというｓｉｎθどうしの掛け算がでました。
しかし、世の中には頭のいい人がちゃんといて、数学者により
| ｃｏｓ２θ＝1-２ｓｉｎ2θ ・・・ 倍角の公式 というのがあって、これを変形した ｓｉｎθ×ｓｉｎθ＝（１－ｃｏｓ２θ）／２ |
という公式がすでに用意されています。この式を分数の約束で更に変形すると
＝（１／２）－（１／２）・（ｃｏｓ２θ）
となります。さらに「θ」を本来の 「２πｆ ｔ ｓ」 に書きなおすと 「２θ」 は 「２×（２πｆ ｔ ｓ）」 と書けます。
ところがこれをそのまま計算して 「４πｆ ｔ ｓ」 と書いても、何の事か良く分かりません。
そこで「２π・２ｆ ｔ ｓ」と書けば、ｆ が２倍になった、つまり周波数が２倍になったことが分かるでしょう。
この書き方に沿ってって式を展開すると、
ｓｉｎθ×ｓｉｎθ＝（１－ｃｏｓ２θ）／２
＝（１／２）－（１／２）・（ｃｏｓ２θ）
＝（１／２）－（１／２）・（ｃｏｓ２π・２ ｆ ｔ ｓ）
この状態で式を３つに色分けして、部分ごとに見てみます。
この式が示す最初の （１／２） とは「グラフの線全体を０､５だけプラス側に持ち上げますよ。」ということです。
とりあええず計算の順番上、 （１／２） を後ろに置くとすると
＝ － （１／２） × （ｃｏｓ２π２ ｆ ｔ ｓ） ＋ （１／２）
と書けます。そこで次の
－（１／２） × （ｃｏｓ２π２ ｆ ｔ ｓ） を先に確かめます。
まず －（１／２） というのはマイナス２分の１を掛けるという単純な意味です。
次の （ｃｏｓ２π２ ｆ ｔ ｓ） という式を絵に描いてみると、波の形は正弦波とまったく同じ形です。
異なるのは、０°のときに１、つまり正弦波の９０°のときから始まるような形をしたサイン波に良く似た
余弦波（コサイン波） であるという点です。
ただし、その直前にくっついている （１／２） はコサイン波全体を２で割ることです。マイナス符号は後で処理します。
つまりＡ・ｓｉｎ２πｆｔｓの場合で考えると、Ａに相当する数値が１／２＝０，５になっていることを意味します。
よって波の振れ幅が元の波の半分の ０,５ になるわけです。
さらに「２ｆｔｓ」の「２ｆ」とは周波数ｆが２倍になったことを表しますので、波の変化が倍の速さになります。
ですから、周波数が２倍の ｃｏｓ２π ２ ｆ ｔ ｓ という波（青の実線）では、ｓｉｎ波（赤の点線）の半周期分で、すでに１周期が終わります。
一方 －（１／２） は前にマイナスの記号がついているので、波形はプラスマイナス逆になる、つまり絵を裏返し(反転)してやればいいのです。
仕上げとして、後回しにした ＋（１／２） があるので、全体を０，５だけ上に移動させて、中心線を０，５にします。
これでやっと電力を示す波形が出来ました。
ただし、この絵の縦軸は電圧ではなく、掛け算の答えなので電力Ｗ（ワット）を表しています。
この時「山」の半分から上は、「谷」つまり半分から下と同じ形なので、この部分を切り取って谷の中へすっぽり入れてしまいます。
すると、ちょうど ０,５ のところで平らになります
このように ピーク１Ｖ の正弦波電圧と、ピーク１Ａ の正弦波電流をかけあわせた正弦波電力は、
平らにならすと ０,５Ｗ になってしまいました。
それなら逆に ０,５＝（１／２） の平方根を求めれば、実際に有効な電圧と電流を計算することができるわけです。すると、
電圧は√０,５＝√（１／２）
＝√１／√２
＝√２／２
≒０,７（Ｖ）
同様に電流は√０,５≒０,７（Ａ）
つまり約７０パーセントしかなかったことなりますが、これでやっと直流と肩を並べられる評価、つまり実効値となりました。
じつは家庭のコンセントから出てくる電圧は、すでに実効値で１００ボルトです。そこでピークなら何ボルト出ているか計算してみると、
１００Ｖ＝実効値＝ピーク値×０,７
ピーク値＝１００Ｖ÷０,７
≒１４０Ｖ この電圧で私たちは感電します。
電圧メータなどの表示は、ほとんどが実効値で表されますので、ピーク値を知りたい時はメータの値を約１､４倍、厳密には√２倍しなければなりません。
【９】コンデンサとコイルという代表的な部品
Ａ） コンデンサ
コンデンサは日本語では「蓄電器」といいます。充電できるタイプの電池、「蓄電池」に似ていますが、電気の貯め方が違います。
電池や蓄電池は電気を化学変化により、物質とそのイオンという別の形にして、貯めています。
これを米作りの農家に例えると、米を金塊や貨幣と交換して持っている状態で、収納場所には困りませんが、再び米に戻すには時間がかかります。
しかし金塊や貨幣ですから、当然お米に変えることができます。
これに対しコンデンサは、電気のまま蓄えます。農家の例でいえば、お米のまま持っているため、大きな倉庫が必要です。
しかしお米そのものですから、簡単に備蓄し簡単に放出することができます。
コンデンサの構造はいたって簡単で、２枚の金属の板をわずかな隙間をあけて向かい合わせに立てたら出来上がります｡
ただし金属板同士が触れ合わないよう、わずかな隙間をあけるのは大変なので、間に紙や薄いフィルムをはさみます。
はさむ材料でコンデンサの名前がペーパーコンデンサとかフィルムコンデンサなどといいますし、なにもはさまず空気を使うこともあります。
また金属の板のままでは場所をとるので、薄いアルミホイルのようなものでサンドイッチ構造をつくり、それをぐるぐる巻いて作り上げます。
５００円玉２枚の間に１万円札１枚を挟んでも、りっぱなコンデンサですが値段は１万１千円と割高です。
こんな簡単な構造でなぜ電気を貯められるのでしょうか。
まずプラスチックの下敷きの両側から管などを使ってこの磁石の粉をふりそそぎます。
すると磁石のプラス側とマイナス側が引き合い下敷きにくっついてしまいます。
これで下敷きに磁石を貯める事が出来たと言うことになります。
ただし実際の磁石は１つの中にプラスとマイナスの両方を持っているので、ふりそそぐどころか、
その前から「だんご」のようにくっついてしまい、何もできません。
一方電気の場合は、プラスとマイナスがしっかり分かれ、お互いに引き合う磁力の代わりに、静電気と言う力も持っています。
そこで隙間をはさむ２枚の金属の板に電気を静電気の力でためられるのです。
金属板同士の隙間は、狭いほうが静電気の力が強くなるため好ましいのですが、加工が難しくなります。
また、高い電圧がかかると隙間の絶縁体を電気が突き抜けて、放電しやすくなります。
一方、金属の板の面積が大きいほど貯められる電気の量が増えます。
Ｂ） コイル
電線は電気を流すための通り道ですが、１本の電線に電気が流れただけでとても弱い電磁石になっています。
強い電磁石にしたいならば電線が何本もあるように見える工夫をすれば良く、ふつうはぐるぐる何回も電線を巻きます。
これをコイルと言いますが、さらに磁気は鉄などのほうが流れやすいので、鉄芯を入れます。
電磁石は電線を鉄芯に巻いただけのコイルですが、電磁石が効率良く働くと、少し別の仕事をします。
通常鉄芯は内部磁界の方向がバラバラで、磁石の性質は起こりません。
しかし電池をコイルにつなげると、内部磁界の方向がそろい、磁石の性質が起こります。
つまりコイルと鉄芯で電力が磁力に変化します。
これでくぎなどをひきつけ持ち上げた後、電池をはずすとくぎが落ちて、磁石ではなくなったことが分かります。
ならばこの時、電力から変化していた磁力は、どこへ行ったのでしょうか。
じつは再び電気になってコイルに戻っていたのです。コイルに電流が流れなくなったら、鉄芯が元に戻ったということは、
鉄芯の気持ちの中で「磁石はイヤだ！もとの普通の鉄に戻りたい。」という力が働いたからです。
鉄はスプリングに代表されるように、磁気だけでなく機械的にも、元に戻ろうとする強固な性格があるようで、「鉄人」などと言う言葉もあります。
その結果Ｎ極はＮをきらうアンチＮ極、つまりＳの力が起きたのと同じようになります。
Ｓ極も同じアンチＳとなり、まるで磁石をコイルの中でひっくり返したようになった結果、コイルには逆の向きに電気が起こります。
その後この電気はコイルと鉄芯の間で、磁気になったり電気になったりを繰り返しながら、熱エネルギーになってコイルを温め、やがて消えてしまいます。
このようにコイルは瞬間的に電磁石を作るという形で、電気を貯め、電磁石が鉄に戻る力で発電していることになります。
ですから、もし鉄芯が元に戻らず永久磁石になってしまったら、コイルには電圧が現れません。
コイルがたくさん電気を貯めるためには、大きな鉄芯が必要ですし、巻く電線が細いと、たくさん巻いた時、電線の電気抵抗が増えて無駄が多くなります。
ところで１００回も電線を巻くのは面倒なので、１００本束ねた電線を１巻きしたらどうでしょう。
残念ながらその時は、各々の電線に流れる電流が１００分の１になってしまい、電線は１００本巻いてあっても、１回巻いたのと同じになります。
つまり巻く電線の太さが１００倍になっただけ、という事です。
もちろんこの時、電流を１００倍にすれば１００回巻いたのと同じです。
しかしコイルにつなげる電線まで相当太くしないと、電線の電気抵抗が大きくなって実用にならないため、通常そのような事は行ないません。
コンデンサは電気を貯める時と放出する時のプラスマイナスが同じ方向です。
それに比べ、コイルは放出する時、逆向きになっているという両者の相反する性質が、実にうまく機能しあって電気の世界をかたちづくります。
こうしたことを発見した人々の偉業も素晴らしいのですが、それが用意されていた宇宙には感服せざるを得ません。
【１０】コンデンサの役割
電池にコンデンサをつないでも２枚の隙間の開いた金属板というだけですから電流はながれません。
しかし最初の一瞬だけはコンデンサを充電するための電流が流れます。
充電が終るとコンデンサの両端は電池と同じ電圧になり、電池がもうひとつ作られ並列に接続されたようになって、電気の流れは止まります。
ここで電池をプラスマイナス逆につないでみると電池のプラスにコンデンサのマイナスがつながり、コンデンサのプラスが電池のマイナスにつながります。
これは電池を２個直列に積み上げて、上の電池のプラスと下の電池のマイナスをショートさせたのと同じになります。
電池を２個直列にした上でのショートなので、最初電流は勢い良く流れますが、しばらくするとコンデンサの電気は放電し終わります。
その後コンデンサに対し逆向きの充電が始まり、今度は２つの電池がさかさまに並列接続されたようになるので、電気の流れは再度止まります。
電圧の向きが交代するのは交流ですから、コンデンサはこのような充電と放電を繰り返し、間接的に交流を流していることになります。
充電と逆方向に放電を開始する。直流は流さず交流だけを間接的に流す。これがコンデンサの役割です。
コンデンサが静電気で充電できる電気の量を静電容量と言います。
【１１】コイルの役割
コイルは鉄芯に電線を巻いただけのものですから、電池をつなぐと直流が流れ電磁石ができます。
この時、コイルは電流に抵抗しながらも電磁石にされてしまいます。
電流に抵抗するとは、抵抗が大きくなったと言う事ですが、別の見方をすると、コイルに逆方向の電圧が発生して、
外部からきた電圧を打ち消しているとも考えられます。
一定限度の強さの電磁石ができると、コイルは電流に逆らうのを止めます。
こうなると電流を妨げるのはコイルの直流抵抗だけになり、電流は最大になります。
これと似たスタイルでエネルギーを蓄えるものに、フライホイール（はずみ車）があります。
静止したフライホイールに外部水平力を与えると、最初フライホイールは慣性の法則から、静止状態を守ろうとして、
見かけ上反発する回転力が発生しますが、やがてそれは減少し回転が始まります。
このようにして水平力は回転力として内部に蓄えられ、外部回転力が無くなると、今度は蓄えられた回転力を使い、
回された時と同一方向に水平力を発生できることになります。
こうした発生電流の向きの違いが、コンデンサとコイルとの違いです。
コイルに話を戻して、電池をはずしてみると鉄芯が元に戻ろうとするため、磁化された時と同一方向に発電します。
その後電池を逆向きにつなげるとどちらの電圧も逆向きになっているので電池のプラスどうしをつなげた並列接続のような状態になり、
この瞬間は電流が流れません。
しかし、しばらくすると逆向きの電池と、同じく逆向きのコイルが発電した電圧によって、やや遅れて反発電圧が減少しながら、
逆向きに磁化電流が流れます。
回転中のフライホイールでも反対方向から外部回転力が加わると、強いブレーキとなり、強く反発する逆回転力が発生します。
しかし外部回転力を加え続けると、逆回転力も減少してゆき、静止状態を経て反対方向の回転力が蓄えられるのです。
コイルはそこに流れる電流で電磁石を作りながら蓄電し、電流が減れば鉄の戻る力で、今までと同一電流方向に発電する。
直流は通すが交流は通しにくい。これがコイルの役割です。
またコイルの交流に対する抵抗を自己インダクタンスと言います。
コイルの記号 
ところで、この鉄芯にもうひとつ別のコイルを巻いたらどうなるでしょうか。
鉄芯は両方のコイルに対し差別をしないので、２つのコイルに逆向きの電気が作り出されます。
このようにコイルは鉄芯を介して、別のコイルに電気を送る役割もあり、これをトランスといいます。
（トランス）
但し電流が変化しないと、鉄芯が磁力を貯めたり吐き出したりしてくれないので、電流の変化の無い直流は送れません。
トランスについては後ほど詳しく調べましょう。
【１２】コンデンサとコイルと交流
コンデンサとコイルは交流に対して反対の性格を持っていそうだと分かってきましたが、もう少し明確にするには、
静電容量や自己インダクタンスの値と、周波数との関係を調べる必要があります。
周波数は「１秒間」の振動回数、コンデンサは電気の貯まる「時間」、コイルは電磁石が発電する「時間」が共通のヒントになりそうです。
さらにコンデンサは静電容量とそこに貯まっている「電圧」で、蓄えた電気の量が決まるのに対し、
コイルでは自己インダクタンスとそこに流れる「電流」で、蓄えた電気の量が決まります。
Ａ）電圧素子であるコンデンサと交流抵抗
１アンペアの電流が１秒間流れたとき流れた電気の量を１クーロンの電荷といいます｡
１クーロン＝１Ａ×１Ｓ
電流を「I」、時間を「ｔ」、電気の量、電荷を「Q」と置き換えて掛け算であらわすと
Q＝I×ｔ
この電気を１ファラッドという底面積をもつ水槽つまり１ファラッドのコンデンサに貯めると、電圧が１ボルトになります。
電圧が水位、静電容量が水槽の底面積、電気量が溜まった水量とすると、水量は底面積と水位の掛け算で計算できます。これを電気に直すと、
Q＝C×E
と書けます。そこでＱの出てきた２つの掛け算を１つに並べると
Q＝Iｔ＝CE
となりますが、この式中 It＝CE のところを変形してみると
ｔ／C＝E／I
さらオームの法則を思い出すと、この式の右辺
E／I＝R（抵抗） ですので
ｔ／C＝E／I＝R
となります。これはコンデンサの持つ交流抵抗なのでしょうか。とりあえず直流の抵抗Ｒと区別するため、
交流の抵抗を「X」と置き換えてみると
ｔ／C＝X
この式の意味を考えてみましょう。 X はおそらくコンデンサ C の交流抵抗です。
そこで左側の分母 C つまり静電容量を増やすと X は小さくなります。
分子「ｔ」は時間で、これが大きくなるという事はゆっくり充放電する、つまり波の動きが遅いということになりそうです。
以上のことから、コンデンサは交流に対し
| ① 同じ周波数なら静電容量が大きいほど抵抗が下がる。 ② 同じ静電容量なら周波数が高いほど抵抗が下がる。 |
ということが予測できます。
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ところでＱ＝ＣＥという式で、電荷Ｑが水の量、Ｃが容器の底面積、電圧Ｅが水の貯まった高さに似ていると書きました。
実際試験管など底面積の小さい容器入っていた水を、お盆に移し換えると、水の量は同じでも、水位がずっと低くなります。
一方コンデンサにおいても同じような事が起きます。
一定の電気が貯まっているコンデンサの電極間を離したり、電極の面積を減らしたりして静電容量を減らすと、
それだけで電極間の電圧は高くなります。
雲は静電気を帯びていますが、大量の雲が夏の日差しで急上昇すると、もう１つの電極である大地に対し、
極めて高い電圧に変化するため、ついには落雷します。
またこうした雲は、低い位置の雲に対しても高電圧を発生するため、雲同士も落雷が起きています。
Ｂ）電流素子であるコイルと交流抵抗
コイルとコンデンサのしくみで一番違うところは、コンデンサが電気を電気のまま充電しているのに対し、コイルが電気を磁気に変換して蓄電している点です。
つまり電気を静的に電荷の量として貯めるのではなく、電荷の流れる運動エネルギーを磁気エネルギーとして貯めているといえます。
ですからコンデンサ以上に、交流専用のダイナミックな素子ということができます。
磁石の強さをウェーバー（Wb）と言う単位で表しますが、あるコイルに、電流を１アンペア流して１Wb の電磁石が出来た時、
そのコイルの持つ自己インダクタンスは１H（ヘンリー）だと言います。そこでこの関係を式にすると
Wb＝L×I
となります。この式は、１Hのコイルに１Ａの電流が流れれば１Wb の磁石になるが、２Ａでは２Wb の磁石になることを示しています。
こうしてできた１Wb の電磁石は、電流を切ると、逆方向に電圧を発生しますが、実際は電流が増加すると電源に向かって電圧を発生し、
電流の減少時は逆方向に発電します。
そしてこの電圧は、電流が変化する時間 ｔ 秒の長さによっても変わります。
例えば電圧が変化出来る直流電源を用い、電圧をゆっくり上昇させると低い電圧が、また早く上昇すれば高い電圧が発生します。
その後、電流をゆっくり減少させると低い電圧が、また急に減少させると高い電圧が今までと逆向きに発生します。
電線を切断しても同じで、切断した所に高い電圧が発生して、放電を起こすこともあります。
そこで電流が減少するとき逆向きに発生した電圧を「－E」に、時間を「ｔ」に置き換えて磁力「Wb」との関係を掛け算であらわすと、
Wb＝－E×ｔ
となります。Ｗｂに関係する２つの掛け算を並べあわせると、
Wb＝－Eｔ＝LI
となりますがこの式の中で －Eｔ＝LI
－L／ｔ＝E／I＝R
ここでＲを交流の抵抗Xに置き換えて表記すると
X＝－L／ｔ
XはおそらくコイルＬの交流の抵抗値でしょう。最初にマイナスの記号が付いていますが、交流はもともともプラスになったりマイナスになったりします。
そこでコイルの交流に対する性質だけを調べるために、マイナスの記号を一時無視すると
X＝L／ｔ となります。
この式の意味を考えてみましょう。分母の時間が小さくなるというのは電流の動きが短時間で早く変化する、つまり周波数が高くなるらしいことを示します。
また分子はインダクタンスの値そのものです。以上のことからコイルは交流に対して
| ① 同じインダクタンスなら周波数が高いほど抵抗が増える。 ② 同じ周波数ならインダクタンスが大きいほど抵抗が増える。 |
という、コンデンサとはまったく逆の性質を持っていることが予測出来ました。
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【１３】交流抵抗と電流の時間差
Ａ）電圧素子であるコンデンサの電流
電池をコンデンサにつなぐと、まず充電する電流が流れ、① 電池が２つになったようになります。②
ここで何かの理由により、電池の電圧が次第に減って行くと 、 今度はコンデンサの電圧の方が電池の電圧より高いので、
電流はコンデンサから電池のほうへ逆流します。
この状態をかんがえてみると、電池のプラスマイナスが逆向きになる前に、すでに逆向きの電流が、コンデンサの放電によって電池に向かって流れていた事になります。
正弦波の電圧がコンデンサの電圧より低くなり始めるのは、最初の山の頂上すなわち９０°を過ぎた時からですが、同時に電流はマイナスを示し始めます。②～③
正弦波電圧の数値がマイナスになるのは１８０°を過ぎてからなのに、電圧が９０°になった時点でお先に電流の方はマイナスになり始めています。④
このように、コンデンサに流れる交流電流は、電源のプラスマイナスの逆転より一見進んで流れているように見えるのです。
そこで電圧に対しコンデンサでは電源より電流が９０°先に進んでいるのではないかと考えられます。
（①から⑧へと進み、その後は②へ戻る。）
Ｂ）電流素子であるコイルの電圧
コイルはコンデンサと違い両端の電圧ではなく、どれほどコイルに電流が流れたかによって、蓄えた電気の量が決まるので、電流を中心に考えます。
そしてこの時にコイルの両端に発生した電圧が、じつはコイルに掛かっている電圧そのものになります。
まずコイルに電流を流そうとすると、高い電圧が発生します。しかし電流の増加が穏やかになると、発生する電圧も徐々に低下します。
さらに電流の増加が止まると今度は逆向きの電圧が発生して電圧はマイナスになってしまいます。
サイン波で値がマイナスになるのは１８０度の時ですが、電流の増加が止まる９０度の時点でお先に電圧はマイナスになっています。
これらの事からコイルの電圧は電流より９０度先に進んでいるのではないかと予測できる事になります。
但しコンデンサの時は電圧の正弦波を基準に考えたので、同様の言い方をすれば、電圧に対しコイルの電流は９０度遅れている、
これもまたコンデンサとは対称的な性格らしいとわかりました
このように電圧と電流の波形の角度が９０度ずれている事を、「位相が９０度ずれる」とか「位相差が９０度ある」などと言います。
【１４】位相差のある正弦波を数字と記号で書く
正弦波を１番簡単な形で書くと Ｓｉｎθです。θという点が０度から３６０度まで移動した時、θの値をＳｉｎの後に入れて三角関数表を見ればその時の、波の高さ（マイナスの時もある）が分 かります。
ここで、位相差があるという例として、９０度遅れている波形を描いてみましょう。
またこれからは「度」の単位は数式との相性から「°」の記号を多用したいと思います。
スタートは９０°からです。このときのθの値は９０°なのでそのままではＳｉｎ９０°の値つまり１になってしまいます。
しかし本来はスタート地点なので当然０にしなければいけません。そこでθの値が９０°の時０になるように、最初から引いてθ－９０°とします。
式にすると
ｓｉｎ（θ―９０°）
このようにしておけば、θが９０°の時
ｓｉｎ（９０°―９０°）＝ｓｉｎ０°
となって、スタートの位置として正しい数値になります。
ここで９０°はπ／２ですから書き方を変えて
ｓｉｎ（θ―π／２） が９０°遅れた正弦波となります。逆に
ｓｉｎ（θ＋π／２） が９０°進んだ正弦波となります。
【１５】交流抵抗の値を探し出す手がかり
コンデンサとコイルと交流の関係がいろいろわかってきたところで、いよいよ実際の交流抵抗値をなんとか導き出してみましょう。
Ｉｔ＝ＣＥ という式を変形して出てきたコンデンサの交流抵抗は
X＝ｔ／C
となっていましたが、「ｔ」という時間の実体が何なのか、今一つはっきりしていません。そこでもう一度「ｔ」の基本的な意味を考えてみましょう。
まず１Ｆ（ファラッド）のコンデンサに１秒間電流を流し、１Ｖ（ボルト）になったら、これは１Ａ（アンペア）の電流が流れていた事になります。
普通なら次の１秒後も１Ｖ増えて２Ｖかと思ったら、意外にも２Ｖ増えて、合計３Ｖになっていたとしたら、次の１秒間は２Ａ流れていたことになります。
さらに次の１秒間ではぐっと減って、なんと０､５Ｖしか増えていなければ、その間は０､５Ａ流れていたことになります。
この事は、コンデンサ「Ｃ」の値を一定にして、時間「ｔ」（この場合は１秒）毎に電圧の増え方がわかれば、時間「ｔ」毎にコンデンサに流れこんだ電流の量が分かることを意味しているのではな いでしょうか。
そこで「ｔ」の長さを、どのような周波数でも平等に対応できるよう、正弦波１周期の、１°に相当する時間にすると、
１Ｈｚではｔ＝１°＝（１／３６０×１）＝（１／２π×１）秒
１ｋＨｚではｔ＝１°＝（１／３６０×１０００）秒＝（１／２π×１Ｋ）秒
つまり「ｔ」を （１／２πｆ）秒 と置けばどのような周波数でも１波長を１／３６０に分解して具体的な電圧と電流の関係が調べられそうです。
【１６】交流抵抗を三角関数表から細かく観測する
物質を細かく観測するときは顕微鏡を使いますが、法則がありそうな電気現象は、計算で分析します。
ただし電気現象も細かく何箇所も調べるため、同じような単純計算の繰り返しが多くなります。
Ａ）コンデンサの交流抵抗
測定に使う正弦波電圧は、わかりやすく １Ｖ、１Ｈｚ とします。
まず 「 １°」 にあたる時間 「 ｔ 」 を出すため、１秒を３６０で割ると
ｔ＝１秒÷３６０≒０､００２７７８秒 になります
次に １°までこの正弦波が進んだ時の、波高値 Ｅ は
Ｅ＝Ｓｉｎ１°＝０､０１７４５Ｖ
この様子を、電圧と時間の拡大図で見てみましょう。
（スタートから１°までコンデンサにかかる電圧と時間の拡大図）
さらにコンデンサの静電容量Ｃ を Ｃ＝１Ｆ として、以前出てきた、コンデンサの電気的機能
Ｃ・Ｅ＝Ｉ・ｔ これを変形した Ｉ＝Ｃ・Ｅ／ｔ
という式にそれぞれの値をいれると電流 「 Ｉ 」 の値は
Ｉ＝ＣＥ／ｔ＝１Ｆ×０､０１７４５Ｖ÷０､００２７７８秒≒６､２８Ａ
これが１Ｖ１Ｈｚの正弦波を１Ｆのコンデンサに掛けた時 ０°から １°までの間に流れた事になるので、
０°から １°までの交流抵抗は １Ｖ÷６,２８Ａ＝０､１５９Ω
となりますが、同じ１度にかかる時間 ０､００２７７８秒 でも、３０°から３１°の間で確かめると、
電圧の変化は ０，５Ｖ から ０，５１５Ｖ まで、つまり ０,０１５Ｖ となります。
この様子も、電圧と時間の拡大図で見てみましょう。
（３０°から３１°までコンデンサにかかる電圧と時間の拡大図）
ですから電流 「 Ｉ 」 は
Ｉ＝１Ｆ×０,０１５Ｖ÷０,００２７７８秒＝５,４Ａ
そこで ３０°から ３１°の交流抵抗は
１Ｖ÷５,４Ａ＝０,１８５Ω
さらに ６０°から６１°の間で確かめると、０，８６６０Ｖ から ０，８７６４Ｖ に上昇します。
この時の電圧差は ０,００８６Ｖ となり、電流 「 Ｉ 」 は
Ｉ＝１Ｆ×０,００８６Ｖ÷０,００２７７８秒＝３，１０Ａ
そこで６０°から６１°の交流抵抗は
１Ｖ÷３，１０Ａ＝０,３２２Ω
と増えます。さらにその後を計算してみると、角度が進むほど電流が少なくなり、８９°から９０°の間では、０,０７１９Ａになります。
そして ８９°から９０ の抵抗値は １°の時の約８７倍にあたる１４Ωとなり、さらに９０°のときは電流が一瞬 ０ になるので、
単純に考えると抵抗値が無限大ということになります。
（１Ｆにかかるコンデンサの電圧と、その瞬間の電流の分析結果）
このことから１Ｆのコンデンサの１Ｈｚにおける交流抵抗は１周期の中で様々に変化しているが、最大で無限大、最小で （１／６,２８）Ω である事がわかります。
グラフで線が１度から始まっていますが、０°のときはまだ電圧が無いので、電流は存在しません。
ちなみに９０°以降の電流の様子を調べてみると、電圧より９０°位相の進んだ、最大６,２８Ａの正弦波であることがわかりました。
そこでコンデンサの交流抵抗は最小になる ０°から １°までの値を使います。そしてその時間Ｔは１周期の３６０分の１である １／２πｆ となります。
こうしてＸＣは
XＣ＝ｔ／Ｃ＝（１／２πｆ）／Ｃ＝１／２πｆＣ
となります。もっと ０°に近い部分を詳しく調べるために、時間を７２０分の１秒、つまり角度を ｓｉｎ０,５°としても数値はほとんど変わらず、
実用上問題が無いとわかりました。
このように、ある現象を微細に分けて、変化の度合いを詳しく調べる手法はニュートンが発明し、「微分」と言います。
Ｂ）コイルの交流抵抗
コイルにおいては正弦波電圧ではなく、１Ａ、１Ｈｚ の正弦波電流が１Ｈのコイルに流れていた場合で考えます。
ｓｉｎ１°まで、つまり ０,００２７７８秒後 の電流 Ｉ はコンデンサの時同様に
Ｉ ＝０､０１７４５Ａ
これによって作られる電磁石の強さは
１Ｈ×０､０１７４５Ａ＝０､０１７４５Ｗｂ
また１°にかかる時間ｔは
ｔ＝０､００２７７８秒
この時間で発生する電圧Ｅは
―Ｅｔ＝ＬＩ
―Ｅ＝ＬＩ／ｔ＝１Ｈ×０､０１７４５Ａ÷０､００２７７８秒≒６､２８Ｖ
これが１Ａ流れるコイルの両端にかかっている交流電圧なので、コイルの交流抵抗は
６､２８Ｖ÷１Ａ＝６､２８Ω
ただし電流の増加率が少なくなるに連れ、交流抵抗は低下し、電流が最大の時コイル両端の電圧が０Ｖだったということは、
この時の交流抵抗が ０Ω だったことになります。よってコイルの交流抵抗は最大
XＬ＝Ｌ／ｔ＝６､２８（Ω）
そして 最小０Ω の交流抵抗を持ちます。また時間Ｔはコンデンサのときと同様
ｔ＝１Ｈ／６､２８Ω＝（１／６､２８）秒 となります。
（１Ｆにかかるコイルの電流と、その瞬間の電圧の分析結果）
以上はいずれも周波数１Ｈｚの時の式ですが、いろいろな周波数 「 ｆ 」 の１°に相当する時間 「 ｔ 」 は常に １／２πｆ ですから
① Ｌヘンリーのインダクタンスを持つコイルの、周波数ｆにおける交流抵抗：XＬは誘導リアクタンスといい
XＬ＝Ｌ／ｔ＝２πｆＬ
② Ｃファラッドの静電容量を持つコンデンサの、周波数ｆにおける交流抵抗：XＣは容量リアクタンスといい
XＣ＝ｔ／Ｃ＝１／２πｆＣ
となりました。１／２πｆ が時間の次元を持っているのは、ｆ＝ｃ／ｓ と、分母に時間の次元を持っているからです。
【１７】コンデンサと抵抗をつかって起こる不思議なこと
交流電源から１ＫＨｚの正弦波が１０Ｖ出ていたとして実験を開始します。まず電源に抵抗器をつなぎ、その先にコンデンサをつないで交流電源に戻すとします。
このようなつなぎ方は抵抗とコンデンサの直列回路といいます。抵抗の値を実際に良く使う１ｋΩとして、コンデンサの容量リアクタンスXＣも同じ１ＫΩにすると
XＣ＝１／２πｆＣ＝１／６,２８×１０００Ｈｚ×Ｃ＝１ＫΩ
これよりＣを計算すると、分母が１００万を超えてしまいます。しかし実際の回路では、ほとんどがこのような数値になってしまいますので、
最初からをコンデンサの静電容量は １００万分の１ファラッド＝１μＦ（マイクロファラッド） を使います。
Ｃ＝１／６,２８×１０００Ｈｚ×１０００Ω
＝（０,１５９／１００００００）Ｆ＝０,１５９μＦ
１ＫＨｚでは抵抗、コンデンサ、どちらも１ＫΩなので交流電源の電圧は２等分されます。また両方をたすと２ＫΩとなり、流れる電流：Ｉは、
Ｉ＝１０Ｖ÷２ＫΩ＝０,００５Ａ です。
実際の電子回路では０,００１Ａ＝１ｍＡ（ミリアンペア）の単位がよく使われるので Ｉ＝５ｍＡ となります。
次に抵抗とコンデンサの両端にかかっている電圧の実効値を測ればどちらも同じ
Ｅ＝Ｉ×Ｒ＝５ｍＡ×１ＫΩ＝５Ｖ になります。
これを交流電圧メータで測れば、実効値に当たる０,７倍の３､５Ｖを示すはずですが、実効値はどちらも５Ｖ近くあります。
５Ｖをピーク値に換算すると１,４倍の７Ｖに相当しますが、電源電圧がピーク値１０Ｖのものを２等分したら、
どちらもピーク値７Ｖあったというのは、一体どう言う事でしょう。
抵抗は交流に対しても直流に対しても動作に変わりはありませんので、謎を解く鍵はコンデンサに流れる電流の位相差にありそうです。
またこれまでの経験から、コイルについても、反対の性格だが似たような事が起こりそうです。
【１８】抵抗とコンデンサの複雑な関係
コンデンサと抵抗の直列と抵抗同士の直列はなぜ事情が異なるのでしょうか。
それは抵抗器と、コンデンサには電圧を分割する気など、全く無いからではないでしょうか。
１ｋＨｚで１ｋΩのコンデンサと１ｋΩの抵抗を直列にして、１０Ｖ１ｋＨｚ の正弦波電源をつなぐと、最初はどちらも１ＫΩなので仲良く半分づつ５Ｖで電圧を分け合います。
これが抵抗同士ならば、ずっと半分づつで、めでたしめでたしというところでしょう。
しかしコンデンサの交流抵抗とは、サイン波の０度から１度付近 でその抵抗値を示しているだけで、基本的には蓄電器です。
そこで、もしコンデンサにつながった抵抗器の先にもっと高い電圧があったなら、それをコンデンサが見つけて、
「電源側にはもっと高い電圧がある。私の静電容量はもっと充電できるから、それも欲しい！」
とわがままを言ってくるわけです。
抵抗は電圧の高いほうから低いほうに、素直に電流を流す性格なので、コンデンサの電圧が５Ｖを越えても、
それより高い電源電圧がある限り、電流を流し続けます。
但し、コンデンサはただの欲張りではなく、放電の時、ちゃんとその電圧を抵抗に返すので、抵抗の電圧も７Ｖと上昇します。
【１９】具体的なコンデンサと抵抗の関係
では時間を追ってコンデンサと抵抗の、電圧に関するやりとりを調べてみましょう。
ただし、あまり細かく時間を分けると、計算式ばかりが増えて大変ですから、１周期を ３０°ごとに分けた正弦波に似た 階段波 を使います。
具体的な階段波の高さは
３０°までは１０・ｓｉｎ３０°＝５Ｖ
６０°までは１０・ｓｉｎ６０°＝８､６６Ｖ
９０°までは１０・ｓｉｎ９０°＝１０､００Ｖ
という具合ですが、単純ながら１２段階の計算は、けっこう面倒です。
また３０°進むのに必要な時間 ｔ は
ｔ＝１秒÷３６０÷１０００×３０
＝８３､３μＳ （μＳ＝１００万分の１秒）となります。
まず１ｋＨｚで１ｋΩのコンデンサＣ＝０,１５９μＦと１ｋΩの抵抗器による直列回路を用意し、ここに階段波の電圧をかけます。
この間、１０ｓｉｎ３０°にあたる５Ｖをこの回路にかけてみます。電圧が上昇し始めた時、コンデンサはまだ空ですので充電電流が大量に流れます。
ところが抵抗があるため、オームの法則により電流Ｉは
Ｉ＝５Ｖ÷１ｋΩ＝５ｍＡ これ以上は流れません。
そこで５ｍＡを０､１５９μＦに８３､３μＳ流し続けたとするとコンデンサには何ボルトの電圧が貯まるかを、
ＣＥ＝Ｉｔ を変形した Ｅ＝Ｉｔ／Ｃ を使って計算します。
このときのコンデンサ電圧をＥｃ１とすると
Ｅｃ１＝５ｍＡ×８３,３μＳ÷０､１５９μＦ≒２,６２Ｖ
ただし実際コンデンサの流れる電流は、コンデンサに電気が溜まるにつれ５ｍＡより減少しますが、放電するときも同じ条件なのでこれで良しとします。
この時１ＫΩに最大５ｍＡ流れていますから抵抗の両端最大電圧Ｅｒ１ｒとコンデンサの最大電流を Ｉｃ１は
Ｅｒ１＝ＩＲ＝５ｍＡ×１ＫΩ＝５Ｖ
Ｉｃ１＝５ｍＡ
.
ということになります。このようにして３０°ごとに１２回にわたって計算し、それをグラフにしてみれば、実態に近づけそうです。
また階段波は１段１段の上が平らなので、その電圧を電池に見立てて絵にしました。ここまでで第１段階は終了です。
次に３０°から６０°まで進むと電源の階段波の電圧は ８,６６Ｖ ですが、この時すでにコンデンサの電圧は ２,６２Ｖ なので、
コンデンサと電源の電圧差は
８,６６－２,６２＝６,０４Ｖ
また電源とコンデンサの間には１ｋΩが入っていますから、コンデンサに流れる電流 Ｉｃ２ は ６,０４ｍＡ です。
そこで３０°から６０°までのコンデンサ電圧の増加分Ｅは
Ｅ＝６,０４ｍＡ×８３､３μＳ÷０,１５９μＦ≒３,１６Ｖ
これが３０°までのコンデンサ電圧２,６２Ｖに加わりますから、６０°でのコンデンサ電圧をＥｃ２とすると
Ｅｃ２＝２,６２Ｖ＋３,１６Ｖ＝５,７８Ｖ
Ｅｒ２＝６,０４ｍＡ×１ｋΩ＝６､０４Ｖ
ここまでが第２段階ですが、さらに９０°では電源が最大の１０Ｖになるため、コンデンサと電源の電圧差Ｅｒ３は
Ｅｒ３＝１０Ｖ－５,７８Ｖ＝４,２２Ｖ
これが１ｋΩに流れるので抵抗に流れる電流Ｉｃ３は
Ｉｃ３＝４､２２ｍＡ
そこで６０°から９０°のコンデンサの電圧増加分Ｅを６０°までの電圧Ｅｃ２に加えると
Ｅ＝４,２２ｍＡ×８３,３μＳ÷０,１５９μＦ＝２,２１Ｖ
Ｅｃ３＝５,７８Ｖ＋２,２１Ｖ＝７,９９Ｖ
という電圧が９０°までにコンデンサに充電されたことになります。ここで第３段階が終ります
９０°から１２０°では８､６６Ｖに電源の電圧が下がり始めますが、コンデンサの電圧はまだそれより低いのでさらに上昇します。
その電圧Ｅｒ４は
Ｅｒ４＝８､６６－７､９９＝０､６７Ｖ また電流は Ｉｃ４＝０､６７ｍＡ
これによりコンデンサの増加する電圧は
０，６７ｍＡ×８３､３μＳ÷０､１５９μＦ＝０､３５Ｖ
そこでコンデンサの電圧Ｅｃ４は
Ｅｃ４＝７､９９＋０､３５＝８､３４Ｖ
１２０°から１５０°ではコンデンサの電圧が電源より高くなるため電流の逆流が始まり、電流にはマイナスの記号がつきます。
Ｅｒ５＝５－８､３４＝―３､３４Ｖ 電流は ―３､３４ｍＡ
これによりコンデンサの電圧低下は
―３､３４×８３､３÷０､１５９＝―１､７５Ｖ
Ｅｃ５＝８､３４―１､７５＝６､５９Ｖ
以下は省略しますがこれらを表にまとめ、グラフにしてみます。但し Ｅｒ(Ｖ) という電圧値はコンデンサに流れる電流値 Ｉｃ（ｍＡ） でもあります。
また少しグラフがごちゃごちゃしますが、電源の電圧波形もあわせて描き込み、位相差が分かるようにしました。
| 電源角度 | ０° | ３０° | ６０° | ９０° | １２０° | １５０° | １８０° |
| Er(Ｖ) Ic（ｍＡ） | ０ | ５,００ | ６,０４ | ４,２２ | ０,６７ | －３,４０ | －６,５９ |
| Ec(Ｖ) | ０ | ２,６２ | ５,７８ | ７,９８ | ８,４３ | ６,５５ | ３、０ |
| 電源角度 | ２１０° | ２４０° | ２７０° | ３００° | ３３０° | ３６０° | ３９０° |
| Er(Ｖ) Ic（ｍＡ） | －８,１０ | －７,５４ | －４,９２ | －１,０１ | ３,１８ | ６,５１ | ８,１０ |
| Ec(Ｖ) | －１,１２ | －５,０８ | －７,６５ | －８,１８ | －６,５１ | －３,１０ | １,１４ |
今回は３０°ごとの階段波である事と、電圧投入直後のショック状態（過渡現象という）も計算に出てくるため、
抵抗とコンデンサに発生する電圧は １２０°や２１０°などで ８Ｖ 程度と高めに算出されました。
このように電圧１０Ｖの正弦波を抵抗とコンデンサで分割しているのに、どちらも５Ｖ以上になる事が見てとれます。
さらにコンデンサの電流の位相が、コンデンサの電圧より９０°、電源電圧より５０°近く進んでいる様子もわかります。
今回は計算例を示すため、お見せする式の量を減らす必要があったので ３０°ごとに調べました。
しかし実際に １０°ごとに調べてみると、３６０°を過ぎたあたりから７Ｖに落ち着いてゆくのがわかります。
そしてこの時流れる電流は
７Ｖ÷１ＫΩ＝７ｍＡ となり
またこれだけの電流が、１０Ｖの正弦波電圧に抵抗とコンデンサの合成回路をつないだ際流れたので、その交流に対する合成抵抗は
１０Ｖ÷７ｍＡ＝１､４ＫΩ となりました。
この合成抵抗をインピーダンスとよびますが、ＲとXＣが１ｋΩ対１ｋΩの時、合成されたインピーダンスの値が１,４ｋΩという事は、
１対１で直角を作る二等辺三角形の、斜辺の長さが√２＝１､４１である事を思い起こさせます。
またコンデンサの電流が ５０°電源より進んでいる点も、２等辺３角形の斜辺の角度が４５°である事を思い起こさせます。
つまり直角三角形の底辺を抵抗、リアクタンスを高さとすれば、その時のインピーダンスは斜辺に当たり、電流の位相は斜辺の角度になるのではないかということです。
そこで１対√３で直角を作る三角形の斜辺が２である事を念頭に、コンデンサのリアクタンスを１ＫΩ、抵抗を√３ＫΩとして、３０°おきに同様の計算をしてみれば、
コンデンサと抵抗でできた合成抵抗は２ＫΩに近い値が出るかもしれません。計算は省略しますが答えは２､１５ＫΩでした。
さらに直角を構成する辺の比率が、３対４の直角三角形の場合、斜辺の長さは５なので、抵抗を３ＫΩ、コンデンサのリアクタンス４ＫΩとして、３０°おきに計算すると、答えは５,３ＫΩでした。やはりどうもこのあたりに答えが潜んでいそうです。
コンデンサやコイルと抵抗とで構成する合成交流抵抗＝インピーダンスは「Ｚ」で表し、単位はΩですが抵抗ＲとリアクタンスＸの組み合わせ「Ｒ＋X」で表記します。
Ｚ＝Ｒ＋X
【２０】インピーダンスとピタゴラスの定理
まだ抵抗とコンデンサの関係しか調べていませんが、それでも合成されたインピーダンスは、底辺を抵抗、高さをリアクタンスとした直角三角形の斜辺らしいことがわかりました。
もしそれが正しければ、とても役に立つのがピタゴラスの定理です。
ピタゴラスの定理は、直角三角形の直角を構成している２辺を、それぞれ２乗してから足し合わせた答えが、斜辺の２乗だと言うものです。
代表的な例は３辺が、３対４対５を持つもので、３×３＋４×４＝２５＝５×５ となります。
つまり抵抗値とリアクタンス値がわかっているとき、
① 底辺を抵抗、高さをリアクタンスとして斜辺の長さをピタゴラスの定理で計算すれば、抵抗とコンデンサの合成インピーダンスがわかる。
② 斜辺の長さと高さの比率に合うｓｉｎθの値を三角関数表で見つければ、その角度が電源と電流の位相差になる。
ということになります。そこで３０°おきで調べた時、あまり予想と合っていなかった、３対４対５の直角三角形の場合を例に、今度は１０°おきに調べてみます。
リアクタンスは先ほど同様、１ｋＨｚの時の数値で考えます。
この比率で長さ３の辺をコンデンサのリアクタンス１ｋΩとすると、長さ４の辺は抵抗器で抵抗値は４／３ｋΩ、となります。
また５の辺は合成インピーダンス５／３ｋΩ＝１,６６７ｋΩです。
もしこれに１０Ｖ１ｋＨｚの正弦波電圧をつなげると流れる電流 Ｉとリアクタンス１ｋΩのコンデンサに発生する電圧Ｅｃは
Ｉ＝１０Ｖ÷１,６６７ｋΩ＝６ｍＡ
Ｅｃ＝１ｋΩ×６ｍＡ＝６Ｖ
斜辺の傾斜３７°（三角関数表より）
となるはずです。
こうした期待を胸に、先ほど行った計算を１０°毎に分割して行うと
Ｅｃ＝６，１９Ｖ
斜辺の傾斜３５°
という事がわかりました。このような実験結果から、先ほどの
①
辺を抵抗、高さをリアクタンスとして斜辺の長さをピタゴラスの定理で計算すれば、抵抗とコンデンサの合成インピーダンスがわかる。
②
斜辺の長さと高さの比率に合うｓｉｎθの値を三角関数表で見つければ、その角度が電源と電流の位相差になる。
という事の確信が深まりました。
【２１】コイルと抵抗
コンデンサについて、いろいろ調べてきましたがコイルでも同じような事が起こるでしょうか。
まず１ｋＨｚでＸＬ＝１ＫΩのリアクタンスを示すコイルのインダクタンスＬを計算します。
１Ｋ（Ω）＝２πｆＬ＝６,２８×１Ｋ（Ｈｚ）×Ｌ（Ｈ）
Ｌ＝１Ｋ÷１Ｋ÷６,２８＝０､１５９Ｈ＝１５９ｍＨ
電圧は前回同様変化させますので、今回もインピーダンスが１､６６７ｋΩ近くになれば予測があたった事になります。
ここで以前出てきたコイルと電圧等との関係式 「ＬＩ＝―Ｅｔ」 に再登場してもらいます。
この式を変形すると
Ｉ＝―Ｅｔ／Ｌ となります。
これだけの条件を用意して実験を始めましょう。最初に５Ｖ電圧が立ち上ったとき、コイルは無限大の抵抗を持ちますので、抵抗に流れる電流はゼロとなり、
コイルには５Ｖがそのままかかります。しかしやがて磁化電流が流れますがそれまでの反発電流Ｉは
Ｉ＝―５Ｖ×８３，３μ／１５９ｍ＝―２，６２ｍＡ
一方はコイルが磁化されたとき流せる抵抗の最大電流は
５Ｖ÷４／３ＫΩ＝３､７５ｍＡ
そこでこの時抵抗に流れる電流は
３､７５ｍＡ－２､６２ｍＡ＝１､１３ｍＡ
ともあれ、この電流が４／３ＫΩに流れるので、抵抗の両端の電圧は
１､１４ｍＡ×４／３ＫΩ＝１､５２Ｖ
この電圧を電源の電圧から引けば、
５－１､５２＝３､４８Ｖ
これが３０度における磁化完了時のコイルの電圧となります。以下は省略しますがこのような計算の結果
Ｚ＝１０÷６,０７５＝１,６４６ＫΩ
となって、１，６６７ｋΩに近い値になりました。コイルについてもピタゴラスの定理が通用しそうです。
【２２】コイルとコンデンサの電流で起こる人生劇場
Ａ）直列共振
計算によって３９０°くらいまで１ＫＨｚで１ＫΩのリアクタンスを持つ、コイルとコンデンサの電流波形を作図してみると、電流０の線を中心に、上下で対称になっています。
この事から、もしコンデンサとコイルを直列につなげ、その両端に１ＫＨｚの交流電源で電流を流したならば、片方がプラスの電圧を発生したとき、もう片方がマイナスの電圧を発生して、
両方を加算した電圧はいつも０Ｖということになります。
電流を流しても電圧が発生しないのは、その周波数の時だけ抵抗値がほぼ０Ωということで、これを直列共振現象といい、またその周波数を共振周波数といいます。
ただしこの時、電圧０Ｖというのはあくまで電源から見た０Ｖであって、コイル自身はプラス１０００Ｖ、コンデンサ自身はマイナス１０００Ｖという事もあります。
これは「一見良好な雰囲気でも、人知れず激しい対立が繰り広げられている離婚直前の夫婦。」というのに似ています。
別の見方をすると、コイルとコンデンサが直列になっていれば,周波数が低過ぎると、コンデンサのリアクタンスＸＣが大きいので電流が流れず、
周波数が高すぎてもコイルのリアクタンスＸＬが大きく、やはり電流が流れません。
共振周波数はちょうどその中間点で、急に抵抗が下がる場所といえます。
Ｂ）並列共振
さらに、コイルとコンデンサを並列につなぎ、その両端に電圧をかけてみます。
すると片方がプラス方向に電流を流そうとするとき、もう片方がマイナス方向に電流を流します。
これはあたかも、コイルとコンデンサが両手をつないだ輪の中だけで電流のやり取りをしている、「親密な恋人同士のあいだに、何者かが割り込もうとする余地はない。」
と言うのに似ています。そのため共振周波数に限り、電流が入り込めません。
この状態を並列共振現象といい、抵抗値は共振周波数でほぼ無限大になります。
別の見方をすれば周波数が低すぎるとＸＬはどんどん低下して何も抵抗が無い状態になり、高すぎればＸＣが低下して、やはり抵抗が無くなります。
共振周波数はその中間で、急に抵抗の増える場所なのです。
共振は共鳴、固有振動、などとも言い、電気にとどまらず、物質や精神的な部分にもおこります。
「ナイスなダジャレを言ったのに、だれも笑ってくれなかった。」というのはそれを聞いた人たちの笑いの共振点とズレているからです。
共振の条件は XＣ＝XＬ ですが、この時 XＣ＝１／２πｆＣ XＬ＝２πｆＬ ですから式を作ると
１／２πｆＣ＝２ｆπＬ
ここから周波数ｆを出すように式を変形すると
ｆ×ｆ＝１／２π×２π×Ｃ×Ｌ
ｆ²＝１／４²πＣＬ
ｆ＝１／２√πＣＬ
となり、最後の式にＣとＬの値を当てはめると、共振周波数ｆが計算できます。ところがこれだけでは実用的ではありません。
電気回路は上方なら「使えてなんぼ」であり江戸では「使えなきゃなんねえ」のです。そこで出てくるのがＱという係数です。
【２３】共振回路につきもののＱ
共振回路の「役割」は、特定の周波数で、急に抵抗が大きくなったり小さくなったりする事を利用した、「選択機能」にあります。
テレビのチャンネルがたくさんあっても、アンテナやアンテナからのケーブルが一本ですむのは、ケーブルに入ってきた様々な電波の中から、目的の周波数の電波を、テレビが選択しているからです。
そのような回路では、どの程度の電流や電圧で回路が働いているかが重要になります。
テレビが電波を選択するチャンネル切り替えで、例えば１００Ｖの電圧で１０Ωくらいのリアクタンスによる共振回路を作ったら、その前後の電流Ｉは
Ｉ＝１００Ｖ÷１０Ω＝１０Ａ
その時の電力Ｐは
Ｐ＝１００Ｖ×１０Ａ＝１０００Ｗ
となります。
これではチャンネル切り替えだけでオーブントースター１台分になってしまい、電気代が勿体無いなどと言う以前に、発熱で火災の危険すらあります。
逆に、５０Ω以下の抵抗で構成されている電気回路で２万倍、つまり１０００ＫΩのリアクタンスによる並列共振回路を持ってきて、「共振周波数では抵抗が無限大になります。」
などといっても、５０Ωからみたら１０００ＫΩも無限大もあまり変わりません。
そこで、まわりにつながる回路の、だいたいのインピーダンスを単純な抵抗として見て、その抵抗の値をＲとするとき
Ｒ＝ＸＣ＝ＸＬ
であるように共振回路を作れば、その共振回路のＱは１だといいます。
Ａ）直列共振回路のＱ
直列共振回路でＱが１の時は、共振周波数でＲとＸＬやＸＣの大きさが等しいのですが、もしＲの値が１０倍になると、それと同じリアクタンスを持つためには、
コイルもコンデンサも共振周波数とは別の周波数でその値を実現するしかありません。
例えばＸＣ＝１／２πｆＣ でＸＣを１０倍にするにはＣと２πは変えようが無いので、ｆを１０分の１にします。
同様にＸＬ＝２πｆＬ でＬと２πは変えようが無いのでｆを１０倍にすれば良い事になります。
この様子をグラフにすると、下に絵のようになり、共振回路の谷の幅が、広がった事を意味します。
Ｑは本来共振点の、山や谷の鋭さを表しているので、この場合はＱが下がったことになります。
直列共振回路につながる回路のインピーダンスをＲが大きくなったとき、Ｑが小さくなったということは、ＲはＱに反比例するということで、Ｒが分母に入った式が出来ます。
共振回路のＱは
Ｑ＝ＸＣ／Ｒ＝ＸＬ／Ｒ
この式の意味は、
「直列共振回路のＱを上げるには、共振回路を構成するコイルやコンデンサのリアクタンスを回路のインピーダンスより高く設定する。」
という事なります。
Ｂ）並列共振回路のＱ
並列共振回路でもし抵抗Ｒが１０倍になると、ＸＣが１０倍になる周波数は１０分の１に、またＸＬが１０倍になる周波数は１０倍の場所に移ります。
共振回路において、インピーダンスが上昇する山の裾野が狭まるのは、Ｑが高くなる事を意味します。
Ｒが
Ｑ＝Ｒ／ＸＣ＝Ｒ／ＸＬ
この式の意味は
「並列共振回路のＱを上げるには、共振回路を構成するコイルやコンデンサのリアクタンスを、回路のインピーダンスより低く設定する。」
Ｑは共振回路にとって、どう役に立つかを決める大切な数値ではありますが、まわりの回路や入手可能な部品の数値に左右されるため、ほどほどに近い値で妥協するのが普通です。
実用的なＱは０､５から数百くらいになります。
またＱは自然現象や人の精神状態にもあって、「何気なく言った一言が人を激怒させた。」などという場合、その言葉がその人の怒り、恐れ、悲しみの共振点であり、Ｑの値がかなり高い事を 示します。
この先は製作中です
【２４】フィルター
フィルターという言葉で、１番身近なのはタバコのニコチンを除去するフィルターですが、この言葉の中には「選択して除去する」とか「限定して除去する」というように、
２つの動作をまとめた意味が含まれています。
オーディオ回路のフィルターはほとんどが抵抗とコンデンサで構成され、コンデンサのリアクタンスの値と抵抗の値が等しくなる周波数で、
電圧が２等分されるという性質を使います。この時の 周波数をカットオフ周波数といい、フィルターの効果が現れ始めるポイントを示します。
この状態を、カットオフ周波数をｆ、抵抗をＲ、コンデンサの容量をＣ、コンデンサのリアクタンスをＸＣを使った式で表すと、ＸＣとＲが等しいということは
ＸＣ＝１／２πｆＣ＝Ｒ
となりますが、これをいろいろ変形すると
ｆ＝１／２πＣＲ
Ｃ＝１／２ｆπＲ
Ｒ＝１／２πｆＣ などができます。
フィルターはオーディオ回路の中で、交流の除去、直流の除去、高音や低音の調整などに使われます。
Ａ）交流の除去とハイカットフィルター
整流した後コンデンサによって直流に近づけても交流成分は残ってしまいます。そこでコンデンサの先に抵抗をつなぎ、
もう一度コンデンサをアースに落として充電させる事によって、更に直流 に近づけます。
これを電源フィルター、またはリップルフィルターといいますが、抵抗があまり大きいと大電流時、その抵抗器で電圧低下が起こるので、
最大電流時で電源電圧の１０パーセント低下を基準に します。
電源の電圧１０Ｖ、最大電流１００ｍＡとすると、抵抗Ｒは１０Ωで１Ｖの電圧低下が起こります。
電源周波数ｆを５０Ｈｚとすればカットオフこれ以下が効果的になります。
コンデンサの静電容量をＣとするとリアクタンスＸＣの値が１０Ωの時とは
ＸＣ＝１／（２π×５０×Ｃ）＝１０（Ω）
Ｃ＝１／２πｆＲ＝１／（２π×５０×１０）
＝１／１０００π＝１５９（μＦ）
この時リップルは半分になりますが、さらに効果を出すにはカットオフ周波数を１０分の１の５Ｈｚに設定すればよく、
そのためにはコンデンサの容量を１０倍の１６００μＦにします。
この時５０Ｈｚに対するコンデンサのリアクタンスは１Ωで、リップルは１０分の１になります。
さらに、このリップルフィルターは、コンデンサＣが１５９μＦの時、５０Ｈｚ以上をカットするハイカットフィルターとも考えられ、
１０Ωの回路につなげるとＱが１になります。
Ｂ）直流の除去とローカットフィルター
こんどは逆にどの程度のリップルがあるのかだけを検出したいとすれば、整流された後のコンデンサにもう１つコンデンサＣをつなぎ、
その先に抵抗Ｒをつないでアースに落とします。
コンデンサは直流を流せないので交流のみを取り出せますが、これをローカットフィルターと考えＣとＲで減衰し始める低域の周波数ｆを設定できます。
リップル信号の検出を目的とするため、あまり電流の量を必要としない、１０ＫΩ程度のインピーダンスの回路につなげられることを前提とし、ｆを５０Ｈｚとすれば
Ｃ＝１／２πｆＲ＝１／（１００π×１０Ｋ）＝０,１５９（μＦ）
Ｃ）低音上昇とローパスフィルター
ローパスフィルターはハイカットフィルターと似ていますが、カットオフ周波数にあたるものが２つあります。
ひとつはハイカットフィルターのカットオフと同じ働きをして低音の方から見るとこの周波数より高い周波数は低下し、「ロールオフ」といいます。
もうひとつはその低下を止める周波数で、高い周波数の方から見ると、ここより低い周波数から上昇がはじまるように見えるので、「ターンオーバー」といいます。
回路のインピーダンスを１０ＫとしてＱを１０にすると最初のハイカットフィルターの抵抗Ｒ１は１００ＫΩで、ロールオフを２０Ｈｚとすると、必要なＣは
Ｃ＝１／２π・２０・１００Ｋ≒０,０４μＦ
このままでは２０Ｈｚ以上の周波数で電圧はどんどん低下しますが、それを止める周波数ターンオーバーを１００Ｈｚとすると、
コンデンサとアースのあいだに抵抗Ｒ２をいれます。このときＲ２が１００ＨｚでＸＣと同じになればそれ以上高い周波数で電圧が低下しません。
１００ＨｚでのＸＣ周波数に反比例し、２０Ｈｚの時の５分の１となります。１００ＫΩの５分の１は２０ＫΩですので、Ｒ２も同じ２０ＫΩにすれば良い事になります。
Ｄ）高音上昇とハイパスフィルター
ハイパスフィルターはローカットフィルターの「ロールオフ」と、電圧の低下を止める「ターンオーバー」の抵抗から成ります。
回路のインピーダンスを１０ＫΩとしてＱを１０とすると、ローカットフィルターのロールオフ周波数を１０ＫＨｚで１００ｋΩのリアクタンスを持つコンデンサのＣは
ＸＣ＝１／π２・１０Ｋ・１００Ｋ＝０,０００１５９μＦ
＝１５９ｐＦ（ピコファラッド）
ピコはマイクロのさらに１００万分の１で、１兆分の１を表します。この後に１００ＫΩの抵抗でアースに落とすと、ローカットフィルターが出来ますが、
このままでは１０ＫＨｚ以下の周波数でどんどん電圧が低下しますのでそれを止める周波数を４ＫＨｚとします。
４ＫＨｚにおける１５９ｐＦのリアクタンスは２､５倍の２５０ＫΩですので、２５０ＫΩの抵抗を１５９ｐＦに並列につなげると、
それ以下の周波数で電圧の低下が起きません。
【２７】トランスとコイル
トランスは、真空管アンプにとって最重要部品です。トランスとコイルは言葉の使い分けが微妙で、通常はひとつの鉄芯（コア）に複数のコイルが巻いてあるものをトランスと言う場合が多く、各コイルの入力側を１次側、出力側を２次側と呼びます。トランスの１番目の役割はインピーダンスの変換にあり、電圧の変換もこれに含まれます。もう１つの役割はアイソレート（分離、絶縁）で、位相の反転もこれに含まれます。
Ａ）インピーダンスと電圧変換
トランスの１次側と２次側の電圧比はコイルの巻き数比と一致します。例えば１次が１００回で、２次が２００回巻いてあるトランスの１次側に１０Ｖかければ、２次側には２０Ｖあらわれます。た だしトランスの中では電気、磁気、電気と変換されるので、理想状態では電力の損失はありませんが、実際はコアが磁化される時、コア材の持つクセと、巻線の直流抵抗、巻線どうしによる静電容量で損失が起きます。
そこで理想状態のトランスがあったとして、１次側１０Ｖをかけ１Ａ電流が流れれば１次側の電力Ｐは
Ｐ＝１０Ｖ×１Ａ＝１０Ｗ です。
２次側は２０Ｖなので、１０Ｗの電力がそのまま２次側に伝わるとすれば、流れる電流Ｉは、
Ｉ＝１０Ｗ÷２０Ｖ＝０,５Ａ と１次側の半分の電流になります。
この時１次側のリアクタンスＸＬ１は
ＸＬ１＝１０Ｖ÷１Ａ＝１０Ω
一方２次側のリアクタンスＸＬ２は
ＸＬ２＝２０Ｖ÷０,５Ａ＝４０Ω
このように巻数比が２倍になるとリアクタンス比は４倍になります。一般的には巻数比の二乗がリアクタンス比となります。ところでコイルのリアクタンスＸＬを算出するには ＸＬ＝π２ｆＬ です。この式の右辺と左辺の関係から、リアクタンスＸＬが４倍になる時、「Ｌ」すなわちコイルのインダクタンスも４倍になる事がわかります。
つまりコイルの巻数を２倍にすると、インダクタンスは４倍になります。
Ｂ）アイソレートと分離と位相反転
トランスは電気を１回磁気に変換して、間接的に電気を発生させるので、コイルどうしは電気的に交流、直流、どちらに対しても全く絶縁されています。これがアイソレートです。また電流が変動しないと２次側に電圧が発生しないので、直流を含んだ交流から交流部分だけを分離することが出来ます。
さらに通常トランスのコイルは巻き始めから右回りに１次側を巻いたら、２次側も同じ向きで巻きます。この状態で両方共、電線の巻き始めにマークを付け、マークの付いた１次側と２次側の線どうしをアースとすれば、両方の巻き終わりで電圧の位相が同じになります。
位相が同じとは、１時側が正弦波のプラス側になっている時、２次側も同じプラス側になっているという事です。これを逆に利用して、２次側の巻き終りをアースに落とせば、逆相の交流電圧が２次側の巻き始めから取り出せます。これが位相反転です。
【２８】トランスの位相の回転（変化）
トランスは重しの代用やオブジェに利用される場合を除き、それが単体で使われる事は無く、必ず他のインピーダンスをもった回路が接続されます。またトランスはコイルから成り立っています。以上の２点から、トランスの使用には接続インピーダンスを抵抗と見たてた、コイルと抵抗の直列回路と見なす事が有効だと予測できます。
抵抗とコイルの直列回路では抵抗の大きさを直角三角形の底辺、コイルのリアクタンスを直角三角形の高さとして作る斜辺が合成インピーダンスです。この時、電流の遅れは底辺と斜辺で出来た角度θで表せますが、周波数が変化した時、この角度がどう変化するか考えてみましょう。
１５９ｍＨのインダクタンスがあるコイルは、１ＫＨｚで１ＫΩのリアクタンスを示します。このコイルと１ＫΩの抵抗による直列回路の場合抵抗とリアクタンスで作られる直角三角形は、１対１の二等辺三角形なので斜辺の角度と長さは４５°と約１､４になりますが、インピーダンスで言えば「１､４ＫΩで電流の遅れる角度４５°」となります。
これを略して書く時には
Ｚ＝１,４Ｋ∠４５° 「１,４キロ、角（かく）４５度。」
または Ｚ＝１,４Ｋ∠（π／４）「１,４キロ、角（かく）４分のパイ。」
などと書きます。
ここで周波数ｆが２倍の２ｆになったとすると、コイルのリアクタンスは「２πｆＬ」から「２π２ｆＬ」 つまりリアクタンスも２倍になります。リアクタンスは高さなので、高さが２倍になった時の斜辺を計算しますが、ここでピタゴラス先生に登場していただきます。斜辺の計算をすると
√（１×１＋２×２）＝√５≒２,２４ＫΩ
角度θはまだわかりませんが、高さ２、斜辺２､２４と２辺の長さがわかったので
Ｓｉｎθ＝高さ÷斜辺＝２÷２,２４≒０、８９
という式はたてられます。そこで、この式のθの値を、三角関数表を使って求めてみましょう。
三角関数表でＳｉｎθ＝０,８９の時、θがどの値を示すか０度から順に調べてゆくと、Ｓｉｎ６３°の時に値が０､８９１０と書いてあり、これが１番近い値だと考えられます。これによりθ＝６３°と近似値を出すことが出来ました。
以上のことから１ＫΩと１５９ｍＨによる直列回路の２ＫＨｚでのインピーダンスＺは
Ｚ＝２､２４Ｋ∠６３°
同様に他の周波数でも調べると
１００Ｈｚでは Ｚ＝１００∠６°
５００Ｈｚでは Ｚ＝１,１２Ｋ∠２４､５°
１０ＫＨｚでは Ｚ＝９,９６Ｋ∠８５°
１００ＫＨｚでは Ｚ＝９９,９Ｋ∠８９°
このように１ＫＨｚでコイルのリアクタンスを決めるとオーディオ帯域だけでも約０°から９０°という大きな位相角の回転と１００倍以上のインピーダンスの変化が起きます。
【２９】トランスの位相の安定化
位相を安定化するには、１０ＫＨｚと１００ＫＨｚであまり差が出ない事が、ヒントになりそうです。そこで最初から基準の周波数を１００分の１にして、１０Ｈｚで考えてみますと、１０Ｈｚで１ＫΩのリアクタンスをもつには、１００倍のインダクタンスがあれば良い事になります。
１５９ｍＨの１００倍は１５､９Ｈになりますが、このコイルの２０Ｈｚや１００Ｈｚのインピーダンスは前の章の２ＫＨｚや１０ＫＨｚの計算がそのまま当てはまります。そこでいろいろな周波数で計算すると
Ｚ（２０Ｈｚ） ＝２,２４Ｋ∠６３°
Ｚ（１００Ｈｚ） ＝９,９６Ｋ∠８５°
Ｚ（１ＫＨｚ） ＝９９,９Ｋ∠８９°
Ｚ（１０ＫＨｚ） ＝９９９,９Ｋ∠８９°
Ｚ（１００ＫＨｚ）＝９９９９,９Ｋ∠８９°
このように基準周波数を下げる事によって１ＫＨｚ以上はほとんど位相が変化せず、１００Ｈｚにおいて１４°、２０Ｈｚでは３６°程度の変動ですみました。
こうして位相については、なんとか安定させたものの、インピーダンスは相変わらずどんどん上昇しています。インピーダンスが上昇すると同じ電圧をかけても電流が流れないので、周波数が高いほどコアを磁化しにくくなるはずです。これでは高い周波数ほどトランスの１次側から２次側への電力転送性能が低下する事になってしまいます。トランスの転送性能が周波数によってどのような伝達特性を現すのか綿密に調べたグラフを、トランスの周波数特性といいます。
【３０】トランスのインピーダンスの安定
インピーダンスの上昇は、誘導リアクタンスが周波数に比例して上昇するからですが、トランスはただのコイルではなく、２次側のコイルがあります。そこで１次側と２次側に同じ巻数だけコイルを巻いて、２次側のコイルに１０ＫΩの抵抗をつなぎます。
交流電源から１次側に１０Ｖ、１ＫＨｚの交流電圧をかけると、１次と２次の巻数比が１対１ですから、２次側にも１０Ｖ、１ＫＨｚが現れます。よって１０ＫΩの抵抗には１ｍＡの電流が流れる事になります。ちなみに２次側につながる抵抗を負荷抵抗ともいいます。
ここで周波数が１０ＫＨｚになっても電圧は巻数の比率できまるので、やはり２次側には１０Ｖが発生し、１０ＫΩの抵抗に１ｍＡの電流が流れます。なぜコイルのリアクタンスが上昇しても電力の伝達が損なわれないのでしょうか。まずは仮説を立てます。
周波数が高くなってリアクタンスが上昇し、電流が流れにくくなるのは、それだけ大量の磁化をコアに対し行おうとするからだとすれば、同時にそれは大量の発電能力がコアから発揮されると言う意味ではないでしょうか。
別の表現をすれば、１次側で抵抗を増やそうとしても２次側が効率良く磁力を電力に変換してしまうので、鉄芯の「磁石はイヤだ！」という抵抗があまり増えない、即ちリアクタンスの上昇が無視できるのではないでしょうか。そこで以前出てきた
ＬＩ＝Ｗｂ＝Ｅｔ
という式の意味をもう一度考えてみると、
「ＬヘンリーにＩアンペア電流が流れた時に作られた磁石は
Ｅボルトの電圧をｔ秒間発電できる。」
と考えてきました。そしてこの時のｔとは「１／２πｆ」でした。
ここで、なぜこのような記号の入った分数が時間なのかを、おさらいの意味を含めて説明します。周波数ｆというものは１秒間に何回振動しているかを表す記号であって、
ｆ＝振動回数／１秒＝振動回数÷１秒
と書けます。このｆという記号の性質をｔあてはめてゆくと、
ｔ＝１／２πｆ＝１／（２π×振動回数÷１秒）
＝１秒／（２π×振動回数）
つまり１秒間を２πと振動回数で割った「時間」がｔなのです。
例えば１０Ｈｚではｆ＝１０回／秒ですから、これを先ほどの式にあてはめて
ｔ＝１／２π×１０／秒＝１／６２,８＝０,０１５９秒
そこでもとの式に戻ると、
ＬＩ＝Ｗｂ＝Ｅｔ に ｔ＝１／２πｆをあてはめると
Ｗｂ＝Ｅ／２πｆ
となります。これで電圧と電流と周波数の関係が計算できそうです。
この式を変形すると
Ｅ＝２πｆＷｂ
この式の意味を考えてみると、磁石の強さＷｂが一定なら、例えば周波数ｆが２倍になると電圧Ｅも２倍になります。つまりｆが高くなるほど発電される電圧Ｅが大きくなると言えます。
つぎに電圧Ｅを一定に保つ時、周波数ｆが２倍になるとＷｂは半分になります。これは周波数ｆが高くなるほど、磁石の磁力Ｗｂが弱くても電圧に変化が無いと言う事です。
しかし磁力の強さは電力がコイルによって変換されたものなので、磁力が弱くなったのでは、周波数の上昇と共に、トランスの伝達効率が低下するはずです。それにもかかわらず、実際には低下が起こりません。これはコア以外の何かがコアの代わりをして、２次側のコイルに磁力を伝達しているからではないでしょうか。
実はコアそのものの磁化による電力の伝達は低下しているのですが、コアが作る周りの空間が磁化されて、磁力による電力の伝達を手伝いはじめるのです。こうして本来一定のインダクタンスを持ったトランスには、その周りにもっとインダクタンスの低い、トランスとしての伝達路がいくらでも発生して、電力を１次コイルから２次コイルへと伝達出来るのです。ただし低いのはあくまで伝達路のインダクタンスであって、トランスのコイルそのもののインダクタンスが低下しているのではありません。
このような事は１次コイルだけのときには何の意味も無かった事で、２次コイルがあって、そこから電力を取り出そうとした時、初めて作用する現象です。
さらに、周波数が高くなるほどコアの責任が軽くなるという事を、この現象は意味します。周波数が高くなるほど磁力が発生しやすいという事は、コイルの巻き数を減らしたり、コアを小さくしたりしても良いということになり、トランスそのものが小型に作れる事を意味します。
実際、さらに周波数が高くなった電波を扱う高周波回路では、もはやコアが不要になることが多くなります。コアが無いコイルでは何が磁化されるかと言うと、空間が磁化され、空間が元に戻ろうとする力が、磁力を電力に戻します。ただし空間とは空気の事ではなく、地球上も含めた宇宙空間です。さらに周波数が高くなると、コイルを「巻く」と言う事も不要となって５センチ位のただの電線でもコイルの役割をはたします。ですから長い配線は高周波では御法度です。
宇宙空間の磁化で一番身近なのは衛星放送でしょう。何も無い宇宙空間を電波や光が伝わるのは、何も無いはずの場所が、なぜか変化しているからなのです。
【３１】トランスの周波数特性の変化
Ａ）低域の低下
１５､９Ｈのインダクタンスが１０Ｈｚで１ＫΩのリアクタンス値を示す時、電源側のインピーダンスが１０ＫΩならば、１ＫΩどうしで電圧は２等分されてしまいます。２等分と言っても電圧は
１０÷√２≒７,０７Ｖ
ありますが、１対１の巻数のトランスでは、２次側も同じ電圧が出てきます。これを電力で考えてみましょう。
電圧が１０Ｖの時負荷抵抗が１０ＫΩならば流れる電流が１ｍＡであることから、電力Ｐは、
Ｐ＝１０Ｖ×１ｍＡ＝１０ｍＷ
７,０７Ｖの時は電流が７,０７ｍＡになるので
７,０７Ｖ×７,０７ｍＡ＝５､００ｍＷ
この時の１ＫΩの抵抗は１次側につながる回路のインピーダンスの代わりです。そこでトランスのリアクタンスが１次側につながる回路のインピーダンスと同じになる時、伝達できる電力が半分になってしまう事がわかります。回路のインピーダンスがさらに高くなった時は、もっと高い周波数から低域の低下が始まります。
たとえば内部抵抗が１０ＫΩの時は、インダクタンス１５,９Ｈのコイルのリアクタンスが１０ＫΩになる１００Ｈｚから、電圧が低下する事になります。
電源側のインピーダンスを電源の内部抵抗といいますが、内部抵抗が高くなっても損失を出さないよう、充分なリアクタンスを持つためには、大きなインダクタンスが必要になりますが、それには巻数を増やす必要があります。巻数を増やすだけではコイルの直流抵抗も増えてしまうので太い電線を使う必要があり、トランスはますます大きく重くなります。
Ｂ）高域の低下
理想状態のトランスでは周波数が上昇しても１次側と２次側の電圧比は巻数だけで決まりますが、実際のトランスでは、コイルの巻数が増えると、インダクタンスが増える半面、欠点も出てきます。まず電線の長さが増えるので直流抵抗がふえます。電線は銅を中心に作られていますが、電気抵抗が全く無いと言うわけではなく、僅かながら抵抗を持ちます。
それが何百メートルにもなると、電気抵抗がふえます。そこで電流が多く流れたとき、コアの磁化と関係無い電圧が発生して、トランスの伝達に損失が起きます。
また巻線は電線どうし金属を近づけた状態なので、僅かながらもコンデンサを構成します。これが大量の巻線では大きな静電容量となってコイルに並列のコンデンサをつないだ状態になります。このコンデンサを巻線間容量と言い、電源の内部抵抗と組み合わされてハイカットフィルターを作ります。
例えば巻線間容量を５００ｐＦ、電源の内部抵抗を１０ＫΩとすると、これにより作られたハイカットフィルターのカットオフ周波数ｆは
ｆ＝１／２πＣＲ＝１÷６,２８÷５００ｐＦ÷１０ｋΩ
≒３１,８ＫＨｚ となります。
この数値はオーディオ回路として微妙なところです。もう１つの要因はコアの材質にあります。コアは電流が流れて磁石が出来るまで、材料によって反応のスピードが異なります。反応の遅い材料ではモグラたたきが早くなった時のように、動きに着いて行けず、ぼんやり見ているだけという状態になりますから、うまく高域を伝達する事ができません。
【３２】トランスの共振とＱ
また巻線間容量とインダクタンスも共振回路を構成しますが、その周波数：ｆはＸＬとＸＣが等しくなるときで、
ｆ＝１／２π√ＬＣ＝１÷６,２８÷√（１５,９Ｈ×１００ｐＦ）
＝３９９０Ｈｚ
この周波数でインピーダンスが極めて高くなるはずですが、実際にはＱの大きさを確認する必要があります。コイルのリアクタンスＸＬと巻線間容量ＸＣを計算すると
ＸＬ＝２πｆＬ＝６,２８×３９９０×１５,９
≒４００ＫΩ（＝ＸＣ）
電源の内部抵抗を１０ＫΩとすると並列共振回路のＱは
Ｑ＝Ｒ／ＸＬ＝１０／４００＝０,０２５
このＱは周波数特性にどのような影響があるのでしょうか。中心周波数が３９９０ＨＺ≒４ＫＨｚですから、低域のインピーダンス上昇地点をｆ１とすると
ｆ１＝４ＫＨｚ×０,０２５＝１００Ｈｚ
高域のインピーダンス上昇地点をｆ２とすると
ｆ２＝４ＫＨｚ÷０,０２５＝１６０ＫＨｚ
となって高域ではほとんど周波数特性に影響が無い事がわかりました。しかし低域では若干問題が有りそうです。
【３３】２次コイルの影響
トランスの１次コイルに電流が流れた時、２次コイルに負荷抵抗がつながって、電流が流れる時と、負荷抵抗が無く電流が流れない時とでは動作が違うのはなんとなく判りましたが、具体的にはどのような原理でどう違って来るのでしょうか。
２次コイルに何も負荷抵抗がつながっていない時、コイルの両端には電圧が発生しています。しかし発生した電圧は、どこにも流す相手が無く再びコイルに戻ります。